Une compagnie pétrolière dispose d’une somme de $4,9$ millions d’euros pour réaliser un forage en pleine mer. Le coût de forage est estimé de la façon suivante : $100 000$ euros pour les dix premiers mètres ; $300 000$ euros pour les dix mètres suivants ; $500 000$ euros pour les dix mètres suivants et ainsi de suite, le coût de chaque dizaine de mètres augmentant de 200 000 euros par rapport au coût précédent. On pose $C_0=1$, $C_1=3$,$C_2=5$ et plus généralement, on note $C_n$ le coût exprimé en centaines de milliers d’euros de la (n+1)-ième dizaine de mètres creusés.

1. 1. Calculer $C_6$.
   2. Quelle est la nature de la suite $(C_n)$ ?
   3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
2. 1. Calculer $C_0+C_1+C_2+...+C_{10}$. Que représente cette somme ?
   2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $C_0+C_1+C_2+...+C_n=(n+1)^2$.
   3. En tenant compte des moyens financiers dont dispose la compagnie, calculer la profondeur maximale du puits de forage.

Code de déblocage de la correction :

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 10000$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 0,95u_n + 200.$

1. Calculer $u_1$ et vérifier que $u_2=9\ 415$.
2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n>4 000$. Montrer que $u_n$ est décroissante.
3. Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par: $v_n = u_n - 4000$.
   1. Calculer $v_0$.
   2. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison égale à $0,95$.
   3. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $u_n = 4000 + 6000 \times 0,95^n.$

Code de déblocage de la correction :

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : $(1) \left\{ \begin{array}{l} u_0=3 \\ u_{n+1}=3u_n+2\end{array} \right.$

1. 1. Ecrire un algorithme pour qu’il affiche le terme de rang $n$ de la suite $(u_n)$.
   2. Traduire cet algorithme en une fonction Python.
   3. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : $v_n = u_n + 1$.
   1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique, puis déterminer sa raison et son premier terme.
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   3. En déduire l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
   4. Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}v_n = v_0+ v_1 + v_2 + ... + v_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
   5. Pour tout entier naturel $n$, on pose $T_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_n = u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_n$. Exprimer $T_n$ en fonction de $n$.

   Code de déblocage de la correction :

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 1$ et pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n-2$.

1. Ecrire un algorithme permettant d’afficher les $n$ premiers termes de la suite $(u_n)$ et traduire cet algorithme en une fonction Python qui renvoie le terme de rang $N$ de cette suite.
2. On pose $v_n = u_n + 4$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
   1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
   2. En déduire $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}v_n = v_0+ v_1 + v_2 + ... + v_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
4. Pour tout entier naturel $n$, on pose $T_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_n = u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_n$. Exprimer $T_n$ en fonction de $n$.

Code de déblocage de la correction :

Dans chaque cas, déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$. On commencera par calculer et représenter graphiquement les premiers termes à la calculatrice.

1. $(u_n)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par : $u_n = n^2+n-1 $ .
2. $(u_n)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par : $u_n = -3n^2+2n-1 $ .
3. $(u_n)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par : $u_{n+1} = {u_n}^2-u_n+1$ .
4. $(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel n non nul, par : $u_n = \dfrac{2n-1}{n^2}$ . On étudiera les variations de la fonction $f$ définie sur $\left[1\ ;\ +\infty\right[$ par : $f(x)=\frac{2x-1}{x^2}$ .

Code de déblocage de la correction :

Soit $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $u_n = \dfrac{7^n}{n+1}$.

1. Vérifier que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$
2. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$
3. Conclure sur la monotonie de la suite $(u_n)$.

Code de déblocage de la correction :

Etudier le sens de variation des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies, pour tout entier naturel $n$, par : $u_n = \dfrac{2^{n+2}}{3^n}$ pour $n \in\mathbb{N}$ et $v_n = \dfrac{1\times 2\times 3\times...\times n}{2^n}$ , pour $n \in\mathbb{N}^\ast$.

Code de déblocage de la correction :

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies par $u_n=\dfrac{2n^2+1}{n^2+3}$ et $v_n=\dfrac{-2n^2+1}{n^2+4}$ pour $n \in \mathbb{N}$.

1. 1. Montrer que $u_n=2+\dfrac{-5}{n^2+3}$
   2. Montrer que ${0\le u}_n\le2$
   .
2. 1. Montrer que $v_n = – 2 + \dfrac{9}{n^2+4}$
   2. En déduire que $v_n\geq– 2$.
3. 1. Montrer que $v_n=1-\dfrac{3n^2+3}{n^2+4}$
   2. En déduire que $v_n\le 1$.
   3. Conclure.

Code de déblocage de la correction :

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_0=0$ et $u_{n+1}=3u_n-2n+3$.

On considère l'algorithme suivant :

1. Quel est l'affichage en sortie lorsque $N=3$.
2. Calculer $u_1$ et $u_2$.
3. On suppose que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n\geqslant n$.
   Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
4. On considère la suite auxiliaire $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_{n}=u_n-n+1$.
   
   1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel.
   3. En déduire l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
5. Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}v_n = v_0+ v_1 + v_2 + ... + v_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
6. Pour tout entier naturel $n$, on pose $T_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_n = u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_n$. Exprimer $T_n$ en fonction de $n$.

Code de déblocage de la correction :

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N^*}$ par $u_1 = 1$ et pour tout $n$ de $\mathbb{N^*}$, $u_{n+1}=-3u_n+8$.

1. Ecrire un algorithme permettant d’afficher les $n$ premiers termes de la suite $(u_n)$ et traduire cet algorithme en une fonction Python qui renvoie le terme de rang $N$ de cette suite.
2. On pose $v_n = u_n - 2$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
   1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
   2. En déduire $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
3. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}v_n = v_1+ v_2 + v_3 + ... + v_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
4. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_n = u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n$. Exprimer $T_n$ en fonction de $n$.

Code de déblocage de la correction :

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 1$ et pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n-4$.

1. Ecrire un algorithme permettant d’afficher les $n$ premiers termes de la suite $(u_n)$ et traduire cet algorithme en une fonction Python qui renvoie le terme de rang $N$ de cette suite.
2. On pose $v_n = u_n + 6$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
   1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
   2. En déduire $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}v_n = v_0+ v_1 + v_2 + ... + v_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
4. Pour tout entier naturel $n$, on pose $T_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_n = u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_n$. Exprimer $T_n$ en fonction de $n$.

Code de déblocage de la correction :

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies par $u_n=\dfrac{4n^2+3}{2n^2+5}$ et $v_n=\dfrac{6n^2+1}{2n^2+1}$ pour $n \in \mathbb{N}$.

1. 1. Montrer que $u_n=2+\dfrac{-7}{2n^2+5}$
   2. Montrer que $0\le u_n\le2$
   .
2. 1. Montrer que $v_n = 3 + \dfrac{-2}{2n^2+1}$
   2. Montrer que $ 1\le v_n \le 3$.

Code de déblocage de la correction :

Soit $(u_n)$ une suite gémétrique telle que $u_{7}=640$ et $u_{11} = 10240$
Calculer son premier terme $u_0$ et sa raison $r$.

Code de déblocage de la correction :

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{9}{6-u_n}$.
On considère la suite auxiliaire $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_{n}=\dfrac{1}{u_n-3}$.

1. Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $-\dfrac{1}{3}$.
2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
3. En déduire l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

Code de déblocage de la correction :

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n+1}=\dfrac{3u_n+1}{2u_n+4}$ et $u_0=1$.
On suppose que pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.

On considère la suite auxiliaire $(t_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_{n}=\dfrac{2u_n-1}{u_n+1}$.

1. Montrer que la suite $(t_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$.
2. Exprimer $t_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
3. En déduire l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_1=\dfrac{1}{2}$ et $u_{n+1}=\dfrac{n+1}{2n}u_n$.

1. Calculer $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
2. On suppose que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n>0$.
   Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
3. On considère la suite auxiliaire $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $v_{n}=\dfrac{u_n}{n}$.
   
   1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
   3. En déduire l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$ non nul.