Exemples

ABCDEFGH est un cube d’arête a.
Calculer $\overrightarrow{CG}.\overrightarrow{BE}$ 		module

Code de déblocage de la correction :

On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}(2~;~-1~;~3)$ et $\overrightarrow{v}(-1~;~-2~;~0)$
Calculer $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$

Code de déblocage de la correction :

On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}(0~;~-1~;~2)$ et $\overrightarrow{v}(-1~;~-2~;~-1)$
Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$

Code de déblocage de la correction :

A(1 ; 1 ; -2) et B(1 ; -2 ; 2) On considère les points $A(1~;~1~;~-2)$ et $B(1~;~-2~;~2)$
Calculer la distance $AB$.

Code de déblocage de la correction :

$ABCDEFGH$ est un cube.
Montrer que les droites $(AB)$ et $(EH)$ sont orthogonales. 		module

Code de déblocage de la correction :

$ABCDEFGH$ est un cube.
Montrer que les droites $(AB)$ et $(CF)$ sont orthogonales. 		module

Code de déblocage de la correction :

$ABCDEFGH$ est un cube d’arête un réel $a > 0$.
  1. Déterminer le projeté orthogonal du point $E$ sur la droite $(BC)$.
  2. Donner la distance du point $E$ à la droite $(BC)$.
 module

Code de déblocage de la correction :

$ABCDEFGH$ est un cube.
Déterminer le projeté orthogonal de $H$ sur le plan $(CGE)$. 		module

Code de déblocage de la correction :

Exercices

    $ABCD$ est un tétraèdre régulier (chaque face est un triangle équilatéral) d’arête $6$. $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des arêtes $[BC]$ et $[CD]$.
  1. Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}$ puis $AI$ et $AJ$.
  2. Calculer $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}$ en utilisant les égalités $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AJ}$
  3. Exprimer ce produit scalaire en fonction de $\cos(\widehat{IAJ})$ et en déduire la mesure, en degré, de l’angle $\widehat{IAJ}$ arrondie au dixième.
 module

Code de déblocage de la correction :

    $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle tel que $AD=AE = 1$ et $AB = 2$. $I$ est le centre du carré $AEHD$ et $J$ est le milieu de l’arête $[DC]$.
  1. Justifier que le repère $\left(D~;~\overrightarrow{DA}~;~\overrightarrow{DJ}~;~\overrightarrow{DH}\right)$ est orthonormé.
  2. Donner les coordonnées des points $B$ et $I$ dans ce repère.
  3. En déduire la longueur $BI$.
 module

Code de déblocage de la correction :

    ABCDEFGH est un cube d’arête $1$.
    On se place dans le repère orthonormé $\left(C~;~\overrightarrow{CD}~;~\overrightarrow{CB}~;~\overrightarrow{CG}\right)$.
  1. Donner les coordonnées des sommets du cube dans ce repère.
  2. Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{DF}$ et $\overrightarrow{GE}$ sont orthogonaux.
 module

Code de déblocage de la correction :

    $ABCDEFGH$ est un cube d’arête $1$. $O$ est le centre de la face $EFGH$. On se place dans le repère orthonormé $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}~;~\overrightarrow{AE}\right)$.
  1. Justifier la suite d’égalités $\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AE}^2= 1$.
  2. Quelles sont les coordonnées du point $O$ dans le repère choisi ? Calculer $AO$.
  3. On note $\theta$ la mesure de l’angle géométrique associé aux vecteurs $\overrightarrow{BF}$ et $\overrightarrow{AO}$.
    Démontrer que $\cos(\theta) = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$ et en déduire la valeur de $\theta$ à un degré près.
 module

Code de déblocage de la correction :

    $ABCD$ est un tétraèdre régulier (chaque face est un triangle équilatéral) d’arête un réel $a > 0$. $I$ est le milieu de l’arête $[AB]$.
  1. Exprimer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$ en fonction de $a$.
  2. Utiliser la relation de Chasles pour calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}$.
  3. En déduire que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.
module

Code de déblocage de la correction :

    $ABCD$ est un tétraèdre régulier (chaque face est un triangle équilatéral). $I$ est le milieu de l’arête $[AB]$.
  1. Démontrer que la droite (AB) est orthogonale au plan (CDI).
  2. En déduire que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
module

Code de déblocage de la correction :

$ABCDEFGH$ est un cube d’arête $1$. En utilisant le repère orthonormé $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}~;~\overrightarrow{AE}\right)$.
Montrer que le vecteur $\overrightarrow{AG}$est normal au plan $(CFH)$. 		module

Code de déblocage de la correction :

    Soient $A(1~;~2~;~0)$, $B(2~;~2~;~0)$, $C(1~;~3~;~0)$ et $D(1~;~2~;~1)$ quatre points de l'espace muni d'un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$
  1. Déterminer l’équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ orthogonal à la droite $(BC)$ contenant le point $A$.
  2. Déterminer l’équation cartésienne du plan $\mathscr{Q}$ parallèle au plan d’équation $–y + z + 5 = 0$ contenant le point $D$.

Code de déblocage de la correction :

    Soient $A(1~;~-2~;~4)$, $B(-2~;~-6~;~5)$, $C(-4~;~0~;~-3)$ et $D(1~;~2~;~1)$ quatre points de l'espace muni d'un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$
  1. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. Ils définissent donc un plan $\mathscr{P}$.
  2. Trouver un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
  3. En déduire une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$.

Code de déblocage de la correction :

    l'espace muni d'un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.
  1. Démontrer que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ d’équation respectives $x + y – z + 2 = 0$ et $3x + y + z + 4 = 0$ sont sécants.
  2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection $d$.

      3. Code de déblocage de la correction :

    L’espace est rapporté au repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.
    On considère les points $A(-1~;~2~;~1)$, $B(1~;~0~;~-1)$ et $C(2~;~2~;~2)$.
  1. Déterminer l’équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ passant par $A$ et orthogonal à $(OA)$.
  2. Démontrer que la droite $(BC)$ est sécante au plan $\mathscr{P}$
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(BC)$.
  4. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la droite $(BC)$ et le plan $\mathscr{P}$.

Code de déblocage de la correction :

    L’espace est rapporté au repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, et $d$ est le droite passant parles points $A(1~;~-2~;~-1)$ et $B(3~;~-5~;~-2)$.
  1. Vérifier qu’une représentation paramétrique de la droite $d$ est : $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\\ y = -2 - 3t\\\ z = -1 - t \end{array} \right.\text{, } t \in \mathbb{R}$.
  2. $d'$ est la droite de représentation paramétrique : $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - s \\\ y = 1 + 2s\\\ z = s \end{array} \right.\text{, } s \in \mathbb{R}$.
    Montrer que les droitres $d$ et $d'$ ne sont pas coplanaires.
  3. $\mathscr{P}$ est le plan d'équation cartésienne : $4x + y + 5z + 3 = 0$.
    1. Démontrer que le plan $\mathscr{P}$ contient la droite d.
    2. Démontrer que la droite $d'$ coupe le plan $\mathscr{P}$ en un point $C$ dont vous préciserez les coordonnées.
  4. $\Delta$ est la droite passant par le point $C$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{v}\left(1~;~1~;~-1\right)$.
    1. Démontrer que les droites $\Delta$ et $d$ sont perpendiculaires.
    2. Démontrer que la droite $\Delta$ coupe perpendiculairement la droite $d\'$ en un point $E$ dont vous préciserez les coordonnées.

Code de déblocage de la correction :

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Indiquer la bonne réponse en justifiant.
  1. L’espace est rapporté au repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.
    On donne $A(1~;~2~;~-4)$ et $B(-3~;~4~;~1)$, et le plan $\mathscr{P}$ d’équation cartésienne $2x+3y-z+4=0$.
    1. La droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l} x = -8 + 2t \\\ y = 7 - t\\\ z = 6 + t \end{array} \right.\text{, } t \in \mathbb{R}$
      1. Le plan $\mathscr{P}$ et la droite $d$ sont sécants.
      2. Le plan $\mathscr{P}$ et la droite $d$ n’ont aucun point en commun.
      3. La droite $d$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$.
    2. Le plan $\mathscr{P'}$ a pour équation $x+4y-3z+4=0$
      1. $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ sont parallèles distincts
      2. $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ sont confondus
      3. $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ sont sécants suivant la droite de vecteur directeur $-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$
      4. Aucune des réponses précédentes n’est exacte.
    3. Le plan médiateur du segment $[AB]$ a pour équation :
      1. $-4x+2y+5z-\dfrac{5}{2}=0$.
      2. $-4x+2y+5z+\dfrac{5}{2}=0$
      3. Aucune des réponses précédentes n’est exacte.

    Code de déblocage de la correction :

Exercices d'approfondissement.

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On désigne par I le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F. Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}}, ~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.
    1. Déterminer les coordonnées des points I et J.
    2. Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{\text{DJ}}$ est un vecteur normal au plan (BGI).
    3. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).
    4. Calculer la distance du point F au plan (BGI).
  2. On note ($\Delta$) la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).
    1. Donner une représentation paramétrique de la droite ($\Delta$).
    2. Montrer que la droite ($\Delta$) passe par le centre K de la face ADHE.
    3. Montrer que la droite ($\Delta$) et le plan (BGI) sont sécants en un point, noté L, de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{1}{6}~;~\dfrac{5}{6} \right)$.
    4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
      Le point L est-il l'orthocentre du triangle BGI ?
 module

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