Exemples
En utilisant la définition de la fonction $ln$, donner $ln(1)$ et $ln(e)$.
Soient $x$ un réel et $y$ un réel strictement positif tels que $exp(x)=y$, compléter le tableau suivant :
| Valeur de $x$ | $...$ | $0$ | $ln(2)$ | $1$ | $...$ | $...$ | $ln(4)$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valeur de $y$ | $\dfrac{1}{e}$ | $...$ | $...$ | $...$ | $3$ | $e^2$ | $...$ | $...$ |
- On considère les expressionss suivantes :
- $A= ln(32)$ ;
- $B= ln(81) + ln\left(3\sqrt{3}\right)$ ;
- $C=ln\left((\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)\right)$ ;
- $D=3ln\left(e^5\right)+4ln\left(\left(\dfrac{1}{e}\right)^2\right)$
- Exprimer l'expression $A$ en fonction de $ln(2)$.
- Exprimer l'expression $B$ en fonction de $ln(3)$.
- Simplifier les expressions $C$ et $D$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
- Calculer les limites suivantes :
- $exp(2x – 1) = 16$
- $\left(ln(x)\right)^2 – ln(x) – 2 = 0$
- $ln(x – 3) + ln(2x + 1) = 2ln(2)$
Donner une valeur approchée de $ln(0,99993)$ et $ln(1,0009)$ sans utiliser la calculatrice
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
- $ln(x – 3) - ln(2x + 1) \leqslant 0$
- $ln(5 – x) > 2 ln(x + 1)$
- Calculer la limite de $\dfrac{ln\left(x^2\right)}{x^3+x}$ en $+\infty$.
- Calculer la limite de $(x^3 - 4x^2 + x) ln(x)$ en $0$.
Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie et dérivable sur $]-1~;~+\infty[$ par : $f(x) = ln(2x+2)$.
Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = ln(x^2+2)$.
- L’acidité d’une solution est mesurée par son $pH$ défini par : $pH = –log\left([H3O^+]\right)$ où $[H3O^+]$ désigne le nombre de moles par litre
de l’ion $H3O^+$.
- Quel est le $pH$ d’une solution contenant $6\times 10^{-5}$ mole par litre de $H3O^+$ ?
- Le $pH$ d’un jus de citron est de $2,4$. Quel est le nombre de moles d’ions $H3O^+$ dans un litre de jus de citron ?
- Comment varie le $pH$ lorsque la concentration en $H3O^+$ double ?
-
Le nombre $N = 2^{82 589 933}-1$ est le plus grand nombre premier connu en juin 2011.
- Exprimer $log(N + 1)$ en fonction de $log(2)$.
- Déterminer à l’aide de la calculatrice, la partie entière de $log(N + 1)$.
- En déduire l’encadrement, $10^{24 862 047} < 2^{82 589 933} < 10^{24 862 048}$.
- Indiquer le nombre de chiffres de l’écriture décimale de $N$.
Exercices
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante :
$ln(2-x) + ln(x + 3) \geqslant ln(4)$.
-
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)= xe^{-2x}$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère.
- Calculer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
- Quelle conséquence graphique peut-on déduire ?
- Calculer, pour tout réel $x$, $f'(x)$.
- Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
-
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{2x}- 2e^x+1$.
- Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
- Déterminer $f'(x)$, étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
-
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x+1+xe^{-x}$.
-
- Déterminer la limite de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
- Déterminer $g'(x)$, étudier le signe de $g'(x)$ et dresser le tableau de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$.
- En déduire le signe de $g$ sur $\mathbb{R}$
- Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
- On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = e^{–x}g(x)$.
- En déduire le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
- Démontrer que la droite $\mathscr{T}$ d’équation $y = 2x + 1$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $0$.
- Etudier la position relative de la courbe $\mathscr{C}_f$ et de la droite $\mathscr{T}$.
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O~;~\vec{i}~,\vec{j})$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 1 – x +e^x$.
Exercices d'approfondissement.
-
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (1-2x)e^{2x}$.
- Montrer par récurrence que pour tout réel $x$ et tout entier naturel $n$ non nul : $f^{(n)}(x)=2^n(1-n-2x)e^{2x}$.
- Pour tout entier naturel $n$ non nul, la courbe représentative de $f^{(n)}$, dans un repère, admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses en un point $M_n$.
- Calculer les coordonnées $(x_n~;~y_n)$ de $M_n$.
- Vérifier que la suite $(x_n)$ est arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
- Vérifier que la suite $(y_n)$ est géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
On définit les dérivées successives de $f$ par : $f^{(1)} = f'$ et pour tout entier naturel $n \geq 1$, $f^{(n+1)}=(f^{(n)})'$.
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