Dénombrement et combinaison

Rappel

Définition :

$a$ est un nombre positif.
La racine carrée du nombre $a$ est le seul nombre positif dont le carré est $a$ . Ce nombre est noté $\sqrt{a}$.

Pour $a \geq 0$ on a : $\sqrt{a}\times \sqrt{a}= a$ soit $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ .

$\sqrt{4}= ......$ car $...... = 4$ et $......$ est un nombre positif.
$\sqrt{0}= ......$ car $...... = 0$ et $......$ est un nombre positif.
$\sqrt{0.25}= ......$ car $...... = 0,25$ et $......$ est un nombre positif.
$\sqrt{\dfrac{16}{25}}= ......$ car $...... = \dfrac{16}{25}$ et $......$ est un nombre positif.

Un nombre strictement négatif n'a pas de racine carrée.

Pour $a \geq 0$ on a : $\sqrt{a^2}= a$ .

Ecrire ces nombres sans radical

$\sqrt{9}$
$\sqrt{16}$
$\sqrt{49}$
$\sqrt{64}$
$\sqrt{36}$
$\sqrt{0.36}$
$\sqrt{3,4^2}$

Racine carrée d'un produit

Si $a$ et $b$ sont deux nombres positifs, alors $\sqrt{a\times b} = \sqrt{a}\times \sqrt{b}$.
Autrement dit : la racine carrée d’un produit est égale au produit des racines carrées.

Simplifier ces expressions

$\sqrt{2}\times \sqrt{18}$
$\sqrt{8}$
$\sqrt{27}$
$\sqrt{72}$
$\sqrt{75}$
$\sqrt{225}$

Racine carrée d'un quotient

Si $a$ et $b$ sont deux nombres positifs avec $b$ non nul, alors $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
Autrement dit : la racine carrée d’un produit est égale au produit des racines carrées.

Simplifier ces expressions

$\sqrt{\dfrac{9}{49}}$
$\sqrt{\dfrac{4}{25}}$
$\dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{63}}$
$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{48}}$
$\dfrac{\sqrt{108}}{\sqrt{12}}$

Quels que soient les nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs : $\sqrt{a+b} < \sqrt{a}+\sqrt{b}$. Autrement dit : la racine carrée d’une somme de deux réels strictement positifs est strictement inférieur à la somme de leurs racines carrées.

Simplifier ces expressions

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ et et $\sqrt{5}$
$\sqrt{3}+1$ et $2$
$\sqrt{5}$ et $3$

Exercices

Ecrire les nombres suivants sous forme d'un nombre entier.
- $\sqrt{25}$
- $\sqrt{81}$
- $\sqrt{100}$
- $\sqrt{400}$
- $\sqrt{144}$
- $\sqrt{169}$
- $\sqrt{196}$
Les nombres suivants ont-ils une racine carrée ? Si oui, laquelle ?
- $10^2$
- $9$
- $-36$
- $(-8)^2$
- $144$
- $-1$
- $-52$
- $\pi$

Ecrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ est le plus petit entier possible.

$\sqrt{75}$
$\sqrt{162}$
$\sqrt{48}$
$\sqrt{80}$
$\sqrt{288}$
$\sqrt{150}$
$\sqrt{8}\times \sqrt{48}$
$\sqrt{600}$

Ecrire les nombres suivants sans racine carrée. On laissera le résultat soous forme fractionnaire le cas échéant.

$\sqrt{25^2}$
$\sqrt{1600}$
$\sqrt{2^4\times 5^2}$
$\sqrt{\dfrac{500}{5}}$
$\sqrt{169}$
$\sqrt{\dfrac{2^4}{5^6}}$
$\sqrt{75}\times \sqrt{3}$
$\sqrt{(-7)^2}$
$\sqrt{\dfrac{4}{9}}$

Ecrire les nombres suivants avec une seule racine carrée.

$\sqrt{3}\times\sqrt{5}$
$3$
$2\sqrt{20}-11\sqrt{80}$
$12\sqrt{99}-3\sqrt{44}+5\sqrt{176}$

Simplifier les expressions suivantes :

$\sqrt{5}+\sqrt{5}$
$5\sqrt{2}+\sqrt{2}$
$2\sqrt{7}-5\sqrt{7}$
$2\sqrt{2}\times 4\sqrt{18}$

1. Ecrire $\sqrt{80}$, $\sqrt{125}$ et $\sqrt{720}$ sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier.
2. En déduire une écriture simplifiée de : $A = 3\sqrt{80} - 2\sqrt{125} + \sqrt{720}$.
1. Ecrire $\sqrt{300}$, $\sqrt{12}$ et $\sqrt{48}$ sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un entier.
2. En déduire une écriture simplifiée de : $B = 3\sqrt{300} - 5\sqrt{12} + \sqrt{48}$.
1. Ecrire $\sqrt{75}$ et $\sqrt{147}$ sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un entier.
2. En déduire une écriture simplifiée de : $C = 2\sqrt{75} + \sqrt{147} - \sqrt{300}$.

$ABCD$ est un losange tel que : $AC = \sqrt{7}+\sqrt{28}$ et $BD = \sqrt{63}$. Démontrer que $ABCD$ est un carré.

Ecrire sous forme d’une puissance de $10$.

${10}^{2}\times {10}^{-5}$
${\left({10}^{2}\right)}^{4}$
${\left({10}^{-1}\right)}^{2}\times {10}^{7}$
$\dfrac{{10}^{2}\times {10}^{-3}}{{10}^{7}}$
$\dfrac{{\left({10}^{-1}\right)}^{2}\times {10}^{7}}{{10}^{-5}}$
${10}^{4}\times \dfrac{{10}^{4}\times {10}^{-2}}{{10}^{6}}$

Pour $x$ un nombre réel non nul, écrire les expressions suivante sous forme d'une puissance d’un nombre réel :

$8x^{3}$
${4x}^{-3}\times x^{5}$
${-x}^{2}\times x^{3}$
$\dfrac{x^{3}}{27}$
$\dfrac{{\left(x^{2}\right)}^{2}}{x^{5}}$

Simplifier si possible :

$\dfrac{3^{5}}{9^{2}}$
$\dfrac{{\left(4\times 3\right)}^{2}}{2^{4}}$
${\left(2^{-3}\times {10}^{4}\right)}^{2}$
$7^{3}\times 3^{-2}\times {\left(49\right)}^{-1}\times 18$

Calculer et donner les nombres suivants sous la forme d’une puissance en précisant les calculs intermédiaires.

$A = \dfrac{10^{3}\times 10^{-7}}{10^{2}}$
$B = \dfrac{5\times 10^{3}\times 20 \times 10^{9}}{2,5 \times 10^{-2}\times 4\times 10{^-12}}$
$C = \dfrac{400\times 10^{-3}\times 0,5 \times 10^{-11}}{0,002 \times {\left(10^{2}\right)}^{3}}$

Simplifier au maximum les expressions suivantes :

$ A = \dfrac{4,9\times {\left(10^{2}\right)}^{13}}{14\times 10_{}^{5}}$
$B = \dfrac{2\times {\left(10^{-5}\right)}^{4}\times 12\times 10^{3}}{3\times 10^{8}}$
$C = \dfrac{32\times 10^{-3}\times 5\times {\left(10^{3}\right)}^{2}}{4\times 10^{-2}}$

Exercices d'approfondissement.

Simplifier si possible les expressions suivantes où a et b sont des nombres non nuls :

$ {\left(-a\right)}^{3}\times {\left(-b\right)}^{5}$
$a^{2}\times b^{-2}\times a^{-3}\times b^{3}$
${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-1}$
$\dfrac{a^{2}b^{3}}{ab^{2}}$
$\dfrac{{\left(-a\right)}^{3}}{{\left(ab\right)}^{2}}$
$\dfrac{ab^{-2}}{a^{-3}b}$

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