Dénombrement et combinaison

Rappel

Définition :

$a^1 = a$ et si $a\neq 0$ alors $a^0 = 1$.
Pour $n \geq 2$, $a^n = \underbrace{a\times a\times ... \times a}_{n \text{ fois}}$.
Pour $n \geq 1$ et $a \neq 0$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} = \dfrac{1}{\underbrace{a\times a\times ... \times a}_{n \text{ fois}}} $

$75^0 = 1$
$35^1 = 35$
$2^4 = 2\times 2\times 2\times 2 = 4 \times 4 = 16$ et $2^5 = 32$
$2^5 = 2\times 2\times 2\times 2 \times 2 = 2^4 \times 2 = 16 \times 2 = 32$
$3^{-1} = \dfrac{1}{3^1}= \dfrac{1}{3}$
$3^{-2} = \dfrac{1}{3^2}= \dfrac{1}{9}$
$2^{-5} = \dfrac{1}{2^5}= \dfrac{1}{32}$

Cas particulier puissance de $10$

$10^1 = 10$ et $10^0 = 1$.
Pour $n \geq 2$, $10^n = \underbrace{10\times 10\times ... \times 10}_{n \text{ fois}}=1 \text{ }\underbrace{00...0}_{n \text{ zéros}}$.
Pour $n \geq 1$, $10^{-n} = \dfrac{1}{10^n} = \dfrac{1}{\underbrace{10\times 10\times ... \times 10}_{n \text{ fois}}}=\dfrac{1}{1 \text{ }\underbrace{00 ... 0}_{n \text{ zéros}}}=\underbrace{0,0 ... 0}_{n \text{ zéros}}1$

$10^4 = 10000$
$10{-2} = 0,01$
$10^{-3} = 0,001$
$10^{-5} = 0,00001$

Ecriture scientifique

L’écriture scientifique d’un nombre décimal est $a\times10^n$, où $n$ est un entier relatif et $a$ est un nombre décimal tel que $1\leq a < 10$.

L’écriture scientifique de $A = 0,000045$ est $4,5 \times 10{-5}$
L’écriture scientifique de $B = 37000$ est $3,7\times 10^4$

Règles de calcul :

$a^n\times a^p = a^{n+p}$
$\dfrac{a^n}{a^p}= a^{n-p}$
$\left(a^n\right)^p=a^{n\times p}$
$\left(a\times b\right)^n = a^n\times b^n$
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n= \dfrac{a^n}{b^n}$

$3^{13}\times 3^{-11} = 3^{13+(-11)} = 3^2 = 9$
$\dfrac{(-7)^5}{(-7)^3} = (-7)^{5-3} = (-7)^2 = 49$
$\left(2^4\right)^3 = 2^{4\times 3} = 2^{12}=4024$
$4^3\times \left(2,5\right)^3 = \left(4\times 2,5\right)^3 = 10^3 = 1000$
$\dfrac{42^2}{7^2} = \left(\dfrac{42}{7}\right)^2=6^2=36$

Exercices

Ecrire sous forme d'une puissance

$3^7 \times 5^7$
$\dfrac{5^3}{5^{-2}}$
$13^3\times 13^{-5}$
$\dfrac{18^5}{6^5}$
$\left(3^{-2}\right)^{-4}\times 3^{-4}$

Recopier et compléter les égalités suivantes à l’aide d’un nombre décimal :

$256 = …………\times {10}^{2}$
$0,0005 = …………\times {10}^{-3}$
$75 000\times {10}^{3} = …………\times {10}^{7}$
$352\times {10}^{-2} = ……………\times {10}^{2}$

Ecrire sous forme d’une puissance de $10$.

${10}^{2}\times {10}^{-5}$
${\left({10}^{2}\right)}^{4}$
${\left({10}^{-1}\right)}^{2}\times {10}^{7}$
$\dfrac{{10}^{2}\times {10}^{-3}}{{10}^{7}}$
$\dfrac{{\left({10}^{-1}\right)}^{2}\times {10}^{7}}{{10}^{-5}}$
${10}^{4}\times \dfrac{{10}^{4}\times {10}^{-2}}{{10}^{6}}$

Pour $x$ un nombre réel non nul, écrire les expressions suivantes sous forme d'une puissance d’un nombre réel :

$8x^{3}$
${4x}^{-3}\times x^{5}$
${-x}^{2}\times x^{3}$
$\dfrac{x^{3}}{27}$
$\dfrac{{\left(x^{2}\right)}^{2}}{x^{5}}$

Simplifier si possible :

$\dfrac{3^{5}}{9^{2}}$
$\dfrac{{\left(4\times 3\right)}^{2}}{2^{4}}$
${\left(2^{-3}\times {10}^{4}\right)}^{2}$
$7^{3}\times 3^{-2}\times {\left(49\right)}^{-1}\times 18$

Calculer et donner les nombres suivants sous la forme d’une puissance en précisant les calculs intermédiaires.

$A = \dfrac{10^{3}\times 10^{-7}}{10^{2}}$
$B = \dfrac{5\times 10^{3}\times 20 \times 10^{9}}{2,5 \times 10^{-2}\times 4\times 10{^-12}}$
$C = \dfrac{400\times 10^{-3}\times 0,5 \times 10^{-11}}{0,002 \times {\left(10^{2}\right)}^{3}}$

Simplifier au maximum les expressions suivantes :

$ A = \dfrac{4,9\times {\left(10^{2}\right)}^{13}}{14\times 10_{}^{5}}$
$B = \dfrac{2\times {\left(10^{-5}\right)}^{4}\times 12\times 10^{3}}{3\times 10^{8}}$
$C = \dfrac{32\times 10^{-3}\times 5\times {\left(10^{3}\right)}^{2}}{4\times 10^{-2}}$

Exercices d'approfondissement.

Simplifier si possible les expressions suivantes où $a$ et $b$ sont des nombres non nuls :

$ {\left(-a\right)}^{3}\times {\left(-b\right)}^{5}$
$a^{2}\times b^{-2}\times a^{-3}\times b^{3}$
${\left(\dfrac{a}{b}\right)}^{-1}$
$\dfrac{a^{2}b^{3}}{ab^{2}}$
$\dfrac{{\left(-a\right)}^{3}}{{\left(ab\right)}^{2}}$
$\dfrac{ab^{-2}}{a^{-3}b}$

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